§8. Задачи от диференциални уравнения от първи ред

 

Съдържание

1. Уравнения с отделящи се променливи

2. Хомогенни диференциални уравнения

3. Линейни уравнения и уравнения на Бернули

4. Точни уравнения. Уравнения на Лагранж и Клеро

 

ТЕОРИЯ

Уравнения с разделящи се променливи. Такива са уравненията от вида

          ,

където  и  са непрекъснати функции. Уравнението записваме във вида

          ,

което позволява да разделим променливите

          .

Като интегрираме последното, за общото решение получаваме формулата

          ,

където  е произволна константа. Нека едно уравнение може да се преобразува във вида

          .

Тогава след полагане , , то се свежда към уравнение с разделящи се променливи. Имаме . След заместване получаваме

          , , ,

откъдето за общото решение на намираме формулата

          ,

в която след решаване на интегралите трябва да се върнем към първоначалните променливи  и .

          Линейни уравнения. Диференциалното уравнение от първи ред се нарича линейно, когато има вида

         

където коефициентите  и  се предполагат непрекъснати функции в отворения интервал . Всичките му  решения се дават по формулата

         

Уравнението на Бернули

          , , ,

се свежда до линейно след полагането . Това уравнение е

          .

          Точни диференциални уравнения. Диференциалното уравнение

         

се нарича точно, когато диференциалната форма  се явява пълен диференциал на някоя функция . По тази причина точните уравнения се наричат още уравнения, произхождащи от пълен диференциал. Условието

         

се нарича условие за точност. Ако уравнението е точно и е породено от пълния диференциал на , то може да се запише във вида , а неговото общо решение се дава по формулата

         

където  е произволна константа.

 

ЗАДАЧИ

Задача 1. Да се решат уравненията

1.1.  ,                                 1.2. ,       

1.3. ,                                    1.4.,      

1.5. ,                                                     1.6. ,

1.7.,                                  1.8. ,                      

1.9.  

Решение. 1.1.

         

Уравнението е с отделящи се променливи. Очевидно  удовлетворяват това уравнение.  са особени решения (особени интеграли) на уравнението.  Нека  и . Тогава уравнението с отделени променливи е 

          .

Интегрираме почленно и получаваме

           

Общият интеграл на уравнението е

          .

1.2. Особени интеграли на уравнението

           са:   и 

Общ интеграл на уравнението е

         

който можем да запишем и така  .

1.3. Особени интеграли на уравнението

             са   - цяло число

а общ интеграл е

          .                            

1.4. Особен интеграл на уравнението

           е 

а общ интеграл е

             

1.5. Отговор

1.6.Отговор.

1.7. Отговор           

1.8. Уравнението е хомогенно. Полагаме

         

и диференцираме спрямо  равенството

           

Заместваме в даденото уравнение. Получава се уравнението с отделящи се променливи

         

Общият му интеграл е

         

Тогава общ интеграл на даденото уравнение  ще бъде

         

1.9. Уравнението е хомогенно, а общият му интеграл е

          .

Задача 2. Да се решат уравненията

2.1.

2.2.

2.3. ,

Решение. 2.1. Уравненията 2.1.; 2.2.; 2.3. са линейни и се решават по готова формула.Ако всяко от уравненията е преобразувано във вида

         

то общият му интеграл се дава с формулата

         

За уравнение 2.1 решението изглежда така. Преобразуваме го спрямо първата производна на неизвестната функция

         

и прилагаме формулата като съобразяваме, че

          ;

 Тогава

              .

Следователно общият интеграл на уравнение 2.1 е

          .

2.2. Отговор

2.3. Отговор .

 

Задача 3. Да се решат уравненията

3.1.

3.2. ,

3.3. .

Решение. 3.1. Уравнението е от тип на Бернули и трябва да се преобразува във вида

         

да се определят функциите ;  и степента .    

За решаването му използваме формулата

          .

Тогава

          .

Общият интеграл на уравнението е

          .

3.2. Отговор

3.3. Отговор  .

Задача 4. Да се решат уравненията

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

Решение. 4.1. 4.1; 4.2; 4.3; 4.4 са точни диференциални уравнения. Това се определя чрез условието

           

ако уравнението е от вида . За уравнението

         

 и , а

          ,

Вижда се, че

         

Тогава търсим функция

         

където  засега е неопределена. Намираме

         

и сравняваме с

         

Така определяме, че

         

Интегрираме и намираме

         

Заместваме в израза

         

Общият интеграл на уравнението се  получава като заместим  дясната страна на  с константа  . Следователно общият интеграл на уравнението  4.1. е

          .

4.2. Отговор

4.3. Отговор  

4.4. Отговор .

Задача 5. Да се решат уравненията

5.1.

5.2.    

5.3.

ако това уравнение допуска интегриращ множител .

Решение. 5.1. Уравнението допуска интегриращ множител

         

защото

            

е функция само на . Чрез множителя  уравнението се преобразува в точно диференциално уравнение. Следователно общият интеграл на уравнението е

          .

5.2. Уравнението допуска интегриращ множител

         

защото

         

е функция само на . Чрез множителя  уравнението се преобразува в точно диференциално уравнение. Следователно общият интеграл на уравнението е

           .  

5.3. Интегриращ множител на уравнението е

         

а общият интеграл е

          .

Задача 6. Да се решат уравненията

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.                    

Решение. 6.1. Уравненията 6.1; 6.2; 6.3 и 6.4 са от тип на  Лагранж и се решават чрез привеждане към линейни диференциални уравнения като се положи . Тогава

         

и

         

откъдето

           т.е.

 което е линейно уравнение с общ интеграл

          .

Следователно общия интеграл на уравнението 6.1. е

                                                

6.2. Отговор                   

6.3. Отговор

6.4. Отговор

6.5. Отговор

Задача 7. Да се решат уравненията

7.1.

7.2.  

Решение. 7.1. Уравнението е от тип на  Клеро. Общ интеграл се получава като в даденото уравнение  заместим   с , т.е. , а особен интеграл в параметричен вид се получава от общия интеграл след диференциране спрямо  и заместване на полученото  в израза за  . Особен интеграл на уравнението е

           .

7.2. Отговор. Общ интеграл  . Особен интеграл в параметричен вид